Родился 17 августа 1948 года с. Хуштада Цумадинского района. Учился в школе родного села. В 1963 году уехал в Воркуту. Окончил среднюю школу № 18 г. Воркуты с серебряной медалью, став самым первым отличником в её стенах. После окончания школы, в 1966 году поступил в Пермский Государственный университет. В 1968 году перевелся на физический факультет Дагестанского государственного университета, который закончил в 1971 году.

Работал школьным учителем физики в Воркуте. С 1972 года — сотрудник Института геологии Коми научного центра УрО РАН. С 1972 по 1975 год — аспирант при Коми филиале АН СССР.

В 1977 г. в Ленинградском горном институте защитил кандидатскую диссертацию на тему «Исследование процессов роста и формирования кристаллов на стадии регенерации».

В 1981 году избран заведующим лабораторией экспериментальной минералогии института Института геологии Коми научного центра Уральского отделения РАН.

В 1989 г. в Ленинградском государственном университете защитил докторскую диссертацию по теме «Ростовая эволюция кристаллов и кристаллообразующих сред».

30 мая 1997 года избран членом-корреспондентом Российской АН по Отделению геологии, геофизики, геохимии и горных наук, специализация «минералогия».

С мая 2006 года — председатель Президиума Коми научного центра УрО РАН.

С февраля 2008 года — директор Института геологии Коми научного центра УрО РАН.

22 декабря 2011 года избран действительным членом (академиком) РАН по Отделению наук о Земле.

Председатель Сыктывкарскою отделения Российскою минералогического общества, член межведомственного Северо-Западного координационного совета РАН по фундаментальным и прикладным исследованиям, член Бюро Отделения наук о Земле РАН.

Живёт в Сыктывкаре. Женат, имеет двух детей. Дочь Анджела — руководитель департамента развития сети телекомпании «СТС», сын Магомед — инвестиционный управляющий компании «Тройка-диалог».

Научная деятельность:

Асхабов получил принципиально новые данные о процессах и механизмах кристаллообразования. Заложил основы нового эволюционного направления в кристаллографии и кристаллогенезисе. Установил закономерности роста искусственных кристаллов на стадии регенерации. Предложил новые методы рационального использования природного кристаллического сырья, синтеза кристаллов и регулирования их свойств.

Внесен значительный вклад в проблему генетической интерпретации характеристик роста кристаллов, в раскрытие закономерностей и условий природного кристаллообразования, Разработал новые морфологические, кристаллофизические и анатомические индикаторы генезиса алмаза, берилла, кварца и других минералов.

Руководимая Асхабовым лаборатория является одной из ведущих в России и получила общемировое признание.

Награды и премии:

• Лауреат премии Коми обкома ВЛКСМ в области науки за исследования в области роста кристаллов (1976)
• Лауреат премии АН СССР и Болгарской академии наук за работы по прикладной минералогии (1988)
• Заслуженный работник Республики Коми (1998).
• Медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» 2-й степени (2003)
• Государственная премия Республики Коми (2007)
• Медаль «100 лет международной геофизики» (2008)
• Орден Дружбы (2009)